Peluang Word (3)

Nama

: IIN NOVA

NIM

: 20100707032

PELUANG Jika kita mengundi sebuah koin, maka permukaan koin yang akan muncul tidak dapat di tentukan sebelumnya. Jadi munculnya salah satu permukaan koin yang di harapkan masih sebuah kemungkinan. Begitupun pada sebuah dadu, kartu dan kejadian-kejadian yang akan datang tidak dapat di pastikan. Menurut Pascal, Laplace, Fermat dan Gauss, teori kemungkinan atau teori peluang sebagai salah satu cabang dari matematika, mengkaji bagaimana suatu permainan, jika di hitung nilai kemungkinannya untuk menang atau untuk kalah,tetapi bukan untuk berjudi, melainkan di kembangkan sebagai ilmu pengetahuan. A. Frekuensi Nisbi (relatif) dan Peluang Pada pengetosan mata uang logam, terdapat dua kemungkinan permukaan yang akan muncul, yaitu permukaan angka atau gambar. Jika sekeping mata uang logam dilambungkansebanyak 20 kali dan muncul sisi angka sebanyak 11 kali, perbandingan antara frekuensi munculnya sisi angka dengan banyaknya percobaan adala 11/20 Dengan demikian dapat dirumuskan: n( A ) Frekuensi nisbi (relatif) muncul kejadian P(A) = n ( S ) Contoh: Pada pengetosan sebuah dadu, setiap permukaan dadu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, karena mempunyai 6 kemungkinan.  Peluang muncul mata dadu 5 =

1 6 , karena ada 1 maksud yaitu muncul mata

dadu 5 dari 6 kemungkinan. 3 6 , karena ada 3 maksud, yaitu 1, 3, 5 dari 6

 Peluang muncul mata dadu ganjil = kemungkinan. Dengan demikian dapat dirumuskan:

n( A) n( S)

Peluang munculnya kejadian P(A) =

1

Latihan Soal: 1. Dalam sebuah kotak terdapat 7 kelereng hijau, 5 kelereng biru 4 kelereng kuning dan 6 kelereng hitam. Jika diambil secara acak tentukan peluang terambilnya: a) Kelereng hijau b) Kelereng kuning c) Kelereng biru d) Kelereng hitam. 2. Dari seperangkat kartu bridge di ambil sebuah kartu secara acak.berapa peluang muncul kartu K? 3. Sebuah dadu di lempar 1 kali. Berapa peluang muncul mata dadu: a) Mata dadu lebih dari 2 b) Mata dadu genap c) Mata dadu ganjil lebih dari 1. 4. Dalam sebuah kotak terdapat 12 bola merah, 6 bola jingga, 8 bola ungu dan 14 bola coklat. Jika diambil secara acak, hitunglah peluang terambilnya: a) Bola merah b) Bola jingga c) Bola ungu d) Bola coklat 5. Lima belas kartu diberi nomor 30, 31,32,....,44. Kartu-kartu tersebut dikocok kemudian diambil satu kartu secara acak. Tentukan peluang terambilnya kartu bernomor bilangan prima!

2

Pembahasan: 1. Jawab: Banyaknya kejadian yang mungkin terjadi ada 68, karena dalam kotak terdapat 15+12+24+17 = 68 kelereng. banyaknya kejadian yang dimaksud Peluang munculnya kejadian = banyaknya kemungkinan 15 a) Banyaknya kelereng hijau=15, Jadi P(hijau)= 68 . b) Banyaknya kelereng kuning=12, Jadi P(kuning)= c) Banyaknya kelereng biru=24, Jadi P(biru)=

24 68

12 68 =

=

3 17

6 17

17 d) Banyaknya kelereng hitam=17, Jadi P(hitam)= 68 2. Jawab: Kartu bridge terdiri dari ♠♥♦♣, maka banyak kartu bridge adalah 13x4=52 kartu, sehingga banyak kejadian yang mungkin terjadi adalah 52. Banyak kejadian yang di maksud ada 4 karena dalam seperangakat kartu bridgeterdapat 4 kartu K. Jadi, P(K)=

4 52

=

1 13

3. Jawab:

banyaknya kejadian yang di maksud Peluang munculnya kejadian = banyaknya kemungkinan

a) Peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 = 4 , karena ada 4 maksud yaitu mata3,4,5,6 dari 6 kemungkinan 6 3 b) Peluang munculnya mata dadu genap = 6 6 kemungkinan.

karena ada 3 maksud yaitu 2,4,6 dari

2 6 , karena ada 2 maksud yaitu 3 dan 5 dari

c) Mata dadu ganjil yang lebih dari 1=

6 kemungkinan 4. Jawab: Banyak kejadian yang mungkin terjadi ada 40, karena di dalam kotak ada 12+6+8+14=40. 3

Peluang munculnya kejadian =

a)

Banyaknya bola merah 12, P(merah) =

bola merah adalah b)

banyaknya kejadian yang di maksud banyaknya kemungkinan 12 40

3 = 10

jadi peluang terambilnya

3 10

Banyaknya bola jingga 6, P(jingga) = 6 3 3 = jadi peluangterambilnya bola jingga adalah 40 20 20

c)

Banyaknya bola ungu 8, P(ungu) =

8 40 =

1 1 , jadi peluangterambilnya boalungu adalah 5 5

d)

14 Banyaknya boal coklat 14, P(coklat)= 40 bola coklat adalah

=

7 20 . Jadi peluang terambilnya

7 20 .

5. Jawab: S = kejadian yang mungkin terjadi =( 30,31,32,...,44) n(S) = 15 A = kejadian terambil kartu bernomor prima =(31,37,41,43) n(A) = 4 P(A) =

n( A) n (S )

=

4 15

15. ¿ Jadi peluang terambil kartu bernomor prima adalah 4 ¿

4

B. Ruang Sampel dan Titik Sampel Telah dipelajari bahwa kemungkinan yang terjadi pada pengetosan sebuah mata uang logam adalah muncul angka(A) atau gambar(G). Himpunan semua kejadian yang mungkin terjadi yaitu { A , G } , disebut ruang sampel. Ruang sampel biasanya dinyatakan dengan S, jadi S = { A , G } dan setiap anggota dari ruang sampel di sebut titik sampel. Begitu pula pada dadu ruang sampelnya adalah S= { 1,2,3,4,5,6 } . Ruang sampel dapat ditentukan dengan diagram pohon maupun tabel. Ruang sampel dari suatu percobaan adalah himpunan semua kejadian (hasil) yang mungkin terjadi. C. Kisaran Nilai Peluang 1. Kejadian Majemuk Misalnya S= { 1,2,3,4,5,6 } adalah ruang sampel hasil dari percobaan pengetosan sebuah dadu. Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S. Misalnya A= { 2,3,5 } adalah kejadian munculnya mata dadu bil.prima, maka A ⊂ S. Misalnya B=

{ 3,6 } kejadian munculnya mata dadu kelipatan 3, maka B ⊂ S.

5

Karena pada pengetosan mata dadu setiap anggota memiliki kesempatan yang sama untuk muncul maka: 1 1 1 3 P(A)= 6 + 6 + 6 = 6 Karena n(A) = 3, n(S) = 6, dan P(A) = P(B) =

1 6

+

1 6

=

3 , 6 maka P(A) =

n( A) n( S)

2 6

Karena n(B) = 2, n(S) = 6, maka P(B) =

n( B) n (S )

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa: Peluang kejadian A dengan ruang sampel S adalah: n( A) P(A) = n( S) Misalkan: P(A) = peluang kejadian A P(B) = peluang kejadian B P(A ∩ B) = peluang kejadian A dan B terjadi Peluang kejadian A atau kejadian B adalah: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Dengan P(A ∩ B) =

n( A ⋂ B) n( S)

Jika P(A ⋂ B) = 0, maka kejadian A dan kejadian B disebut saling lepas. Dengan demikian , peluang kejadian saling lepas dirumuskan sbb: `

P(A ⋃ B) = P(A) + P(B)

2. Batas-batas Peluang a) Kepastian dan Kemustahilan Pada pengetosan sebuah dadu dapat di tentukan peluang-peluangkejadian berikut:  P(4) = 1/6  P(ganjil) = 3/6 = ½  P(kelipatan 3) = 2/6 = 1/3  P(lebih dari 3) = 3/6= ½ 6

 P(8) = 0  P(kurang dari 7) = 1  P(8) = 0, munculnya mata dadu 8 merupakan kejadian yang mustahil, maka P(A) = 0  P(kurang dari 7) = 1, munculnya mata dadu kurang dari 7, yaitu 1,2,3,4,5,6 merupakan kejadian yang pasti, maka P(A) = 1 Dengan demikian, jika peluang sembarang A adalah P(A) maka 0 ≤ P(A) ≤ 1. b) Komplemen Suatu Kejadian Komplemen kejadian A adalah kejadian bukan A atau bukan kejadian A, perhatikan tabel berikut: No

Percobaan

1

Pengetosan sebuah mata uang

P(A) P(G) =

P(bukan A) 1 2

P(bukan A) =

1 2

P(A) + P(bukan A) 1 2 + 1 2

2

Pengetosa sebuah dadu

P(kelipatan 3) = 2 6

3

Pengetosan dua mata uang

P(dua angka) = 1 4

4

Pengetosan dua buah dadu

P(jumlah 12) = 1 36

P(bukan kelipatan 3) =

4 6

P(bukan dua angka) =

3 4

P(bukan jumlah 12) =

35 36

2 6 4 6 1 4 3 4 1 36

Frekuensi Harapan

7

+

=1 +

=1 +

35 36 = 1

Dari tabel di atas, diperoleh hubungan bahwa peluang setiap kejadian A ditambah peluang kejadian bukan A menghasilkan nilai 1. Untuk setiap kejadian A berlaku: P(A) + P(bukan A) = 1 atau P (bukan A) = 1 – P(A)

3.

=1

Pada percobaan pelambungan sebuah mata uang logam sebanyak 80 kali, diharapkan muncul angka sebanyak 40 kali dan gambar 40 kali. Karena merupakan harapan, maka pada percobaan tersebut mungkin saja muncul angka sebanyak 45 kali dan gambar 35 kali. Selanjutnya banyak kejadian yang diharapkan dalam suatu percobaan disebut frekuensi harapan. Oleh karena peluang muncul angka, yaitu P(A) = 1 2

1 2

dan P(G) =

, maka didapat hubungan sbb:

Frekuensi harapan kejadian A = P(A) x banyak percobaan

Latihan soal 1. Sebuah dadu biru dan dadu hitam dilambungkan bersama-sama satu kali, tentukan: a) peluang muncul mata dadu biru faktor prima dari 6 dan muncul mata dadu hitam genap. b) Peluang muncul mata dadu biru kurang dari 4 dan mata dadu hitam faktor prima dari 14. 2. Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilambungkan bersama-sama sebanyak 84 kali. Tentukan frekuensi muncul mata dadu prima ganjil! 3. Tiga uang logam ditos bersama-sama, tentukan peluang kejadian berikut! a) Muncul tiga gambar 8

b) Muncul dua angka 4. Pada percobaan mengetos sebuah dadu sebanyak 164 kali, berapa kalikah di harapkan muncul mata dadu kelipatan 2? 5. Jika peluang besok akan hujan adalah 0,97, berapakah peluang besok tidak hujan?

Pembahasan: 1. Jawab: Misal dadu pertama biru dan dadu kedua hitam. Banyak anggota ruang sampel n(S) = 6 x 6 = 36 a) Jawab: A = kejadian muncul mata dadu biru faktor prima dari 6 dan mata dadu hitam genap. 2 3

A=

2 (2,2) (3,2)

4 (2,4) (3,4)

6 (2,6) (3,6)

{ ( 2,2 ) , ( 2,4 ) , ( 2,6 ) , ( 3,2 ) , (3,4 ) ,(3,6)}

n(A) = 6 Peluang muncul mata dadu biru faktor prima dari 6 dan mata dadu hitam genap. n( A) 6 1 P(A) = n( S) = 36 = 6 Jadi muncul mata dadu biru faktor prima dan mata dadu hitam genap adalah b) Jawab: K = kejadian muncul mata dadu biru kurang dari 4 ( 1,1 ) , ( 1,2 ) , ( 1,3 ) , ( 1,4 ) , ( 1,5 ) , ( 1,6 ) , = (2,1 ) , ( 2,2 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 ) , ( 2,5 ) , (2,6 ) , ( 3,1 ) , ( 3,2 ) , ( 3,3 ) , ( 3,4 ) , ( 3,5 ) ,(3,6)

{

}

n(K) = 18 L = kejadian mata dadu hitam faktor 14= { ( 1,1 ) , ( 1,2 ) , ( 2,1 ) , ( 2,2 ) , (3,1 ) , ( 3,2 ) , ( 4,1 ) , ( 4,2 ) , ( 5,1 ) , ( 5,2 ) , ( 6,1 ) ,(6,2)} n(L) = 12 K⋂L=

{ ( 1,1 ) , ( 1,2 ) , ( 2,1 ) , ( 2,2 ) , (3,1 ) , ( 3,2 ) }

n(K ⋂ L) = 6 Peluang muncul mata dadu biru kurang dari 4 dan mata dadu hitam faktor 14: P(A ⋃ B) = P(A) + P(B) – P(A ⋂ B) n( A) n(B) n( A ⋂ B) = n(S) + n (S ) n(S)

9

1 6

18 36

=

+

12 36

6 36

-

=

24 36

=

2 3

2. Jawab: Banyaknya percobaan N = 84 kali Banyak anggota ruang sampel n(S) = 2 x 6 = 12 T = kejadian muncul muncul mata dadu prima ganjil = { ( A , 3 ) , ( A , 5 ) , ( G, 3 ) ,(G , 5) } n(T) = 4 P(T) =

n(T ) n(S)

4 12

=

=

1 3

Frekuensi muncul mata dadu prima ganjil 1 = P(T) x N = 3 x 84 = 26 kali 3. Jawab: Ruang sampel pengetosan tiga uang logam S=

{ ( G ,G , G ) , ( G , G , A ) , ( G , A , G ) , (G , A , A ) , ( A , G ,G ) , ( A , G, A ) , ( A , A ,G ) ,( A , A , A )} n(S) = 8 a) Kejadian muncul tiga gambar A = {(G , G ,G) } , maka n(A) = 1 P(A) =

n( A) n( S)

1 8

=

b) Kejadian muncul dua angka B = = { ( G , A , A ) , ( A ,G , A ) , ( A , A , G ) } , maka n(B) = 3 P(B) =

3 8

4. Jawab: P(kelimatan 2) =

3 6

=

1 2

Frekuensi harapan muncul mata dadu kelipatan 2 = P(kelipatan 2) x banyak percobaan 1 = 2 x 164 = 82 kali 5. Jawab: P(hujan) = 0,97 P(tidak hujan) = 1 – 0,97 = 0,03

10

D. Dua Kejadian Majemuk Telah di kemukakan bahwa suatu kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S, maka dari kejadian-kejadian itu di bentuk himpunana baru sbb: (i) A ⋃ B adalah kejadian A terjadi atau B terjadi , atau A dan B terjadi (ii) A ⋂ B adalah kejadian jika A terjadi dan B terjadi 1. Kejadian Majemuk A atau B atau kedua-duanya a) Kejadian Saling Lepas 1

2

3

4

5

6

1

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

(i)

(ii)

Jika A muncul mata dadu berjumlah 4 dan B kejadian muncul mata dadu berjumlah 5, maka A dan B jika ditunjukan pada diagram Venn tidak memiliki anggota yang sama, sehingga A dan B disebut kejadian saling lepas. Maka diperoleh hal-hal berikut: A=

{ ( 1,3 ) ,(3,1)}

B=

{ ( 1,4 ) ,(4,1) } 11

A⋃ B=

{ ( 1,3 ) , (3,1 ) , ( 1,4 ) ,(4,1)}

Jadi, peluang kejadian A atau B = P(A ⋃ B) B A¿ = ¿ n¿ ¿

=

4 36

2 Oleh karena P(A) = 36 , P(B) =

2 36

dan P( A ⋃ B) =

4 36 , maka dapat

dihubungkan bahwa: P(A ⋃ B) = P(A) + P(B), dengan A dan B merupakan kejadian saling lepas.

b). Kejadian Tidak Saling Lepas 1

2

3

4

5

6

1

(1,1

(1,2

(1,3

(1,4

(1,5

(1,6

2

) (2,1

) (2,2

) (2,3

) (2,4

) (2,5

) (2,6

3

) (3,1

) (3,2

) (3,3

) (3,4

) (3,5

) (3,6

4

) (4,1

) (4,2

) (4,3

) (4,4

) (4,5

) (4,6

5

) (5,1

) (5,2

) (5,3

) (5,4

) (5,5

) (5,6

(i)(ii)

Misalnya K kejadian muncul mata 6 dadu pertama 2 dan L muncul mata dadu berjumlah 4. Maka di tunjukan pada ) ) ) ) ) ) diagram Venn terlihat bahwa K dan L memiliki anggota persekutuan, yaitu (2,2) sehingga K dan L tidak saling lepas. Perhatikan rumus berikut: ) (6,1

) (6,2

) (6,3

) (6,4

) (6,5

) (6,6

n(K ⋃ L) = n(K) + n(L) – n(K ⋂ L) 12

Dengan menggunakan rumus tersebut diperoleh peluang kejadian K atau L dengan K dan L merupakan kejadian-kejadian tidak saling lepas seperti berikut: K=

{ ( 2,1 ) , ( 2,2 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 ) , ( 2,5 ) ,( 2,6) } ,

L=

{ ( 1,3 ) , ( 2,2 ) ,(3,1) }

(K ⋃ L) =

{ ( 2,1 ) , ( 2,2 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 ) , ( 2,5 ) , ( 2,6 ) , ( 1,3 ) , ( 2,2 ) ,(3,1)}

(K ⋂ L) = {(2,2) } ¿

Oleh karena n(K)

6 36 , n(L) =

3 , 36 n(K ⋃ L) =

9 36

n(K ⋃ L) = n(K) + n(L) – n(K ⋂ L) n( K ⋃ L) n( S)

=

n( K ) n(S )

+

n(L) n(S)

±

n(K ⋂ L) n(S)

P(K ⋃ L) = P(K) + P(L) – P(K ⋂ L)

2. Kejadian Majemuk A dan B Pelemparan dua buah dadu secara bersama-sama, kejadian munculnya mata 2 pada dadu pertama tidak mempengaruhi munculnya mata 4 pada dadu kedua. Dengan kata lain jika dadu pertama muncul mata 2 maka dadu kedua tidak harus muncul mata 4. Berarti pada dadu kedua dapat terjadi muncul mata 1, 2, atau 3. Karena kejadian muncul mata 2 pada dadu pertama tidak mempengaruhi munculnya mata 4 pada dadu kedua, maka kejadian macam itu disebut kejadian saling lepas. Peluang kejadian A dan B dapat ditentukan dengan cara berikut: A = { ( 2,1 ) , ( 2,2 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 ) , ( 2,5 ) ,(2,6) } B=

{ ( 1,4 ) , ( 2,4 ) , ( 3,4 ) , ( 4,4 ) , ( 5,4 ) , (6,4)}

A ∩B =

{ ( 2,4 ) }

Peluang kejadian A dan B = P(A ∩ B¿

13

Karena P(A) =

6 36

=

1 36

=

1 6 , P(B) =

6 1 1 = ∩ B¿= 36 6 , dan P(A 36 , maka

didapat hubungan P(A ∩ B¿=P( A) x P( B)dengan A dan B merupakan kejadian saling bebas .

1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

Jika A dan B adalah kejadian saling lepas, berlaku: P(A dan B) = P(A ∩ B¿

= P(A) x P(B)

Latihan Soal: 1. Jika pelemparan dadu satu kali, berapakah peluang muncul mata dadu kelipatan 2 atau mata prima ganjil? 2. Pada pengetosan sebuah dadu satu kali, berapakah peluang muncul mata dadu genap atau mata dadu kelipatan 3? 3. Sebuah dadu dan sebuah mata uang ditos bersama-sama. Berapakah peluang muncul mata 2 pada dadu dan angka pada mata uang? 4. Lima belas kartu bernomor 5 sampai 19 dikocok. Jika satu kartu diambil secara acak, berapakah peluang terambilnya kartu kelipatan 3 dan 4? 5. Dua puluh lima kartu bernomor 7 sampai 31 dikocok. Jika satu kartu diambil secara acak, berapakah peluang terambilnya kartu kelipata 5 dan 6? 14

Pembahasan: 1. Jawab: A kejadian muncul mata dadu kelipatan 2, maka A = (2,4,6) B kejadian muncul mata dadu prima ganjil, maka B = (1,3,5) Ternyata A dan B kejadian saling lepas, maka: P(A atau B) = P(A) + P(B) 3 3 = 6 + 6 =1 2. Jawab: A kejadian muncul mata dadu genap, maka A = (2,4,6) B kejadian muncul mata dadu kelipatan 3, maka B = (3,6) Karena Adan B memiliki anggota persekutuan yaitu 6, maka kejadian A dan B tidak saling lepas. Jadi, P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B¿ =

3 6

=

2 3

+

2 6

-

1 6

3. Jawab: Munculnya mata 2 pada dadu tidak mempengaruhi munculnya angka pada mata uang. Jadi kejadian ini merupakan kejadian saling bebas. A kejadian muncul mata 2, maka A = { ( 2, A ) ,(2,G) } B kejadian muncul angka pada mata uang, maka B = { ( 1, A ) , ( 2, A ) , (3, A ) , ( 4, A ) , (5, A ) , ( 6, A ) } Karena A dan B kejadianb saling bebas maka P(A dan B) = P(A) x P(B) 2 6 1 = = 12 x 12 12 4. Jawab: Terambilnya kartu kelipatan 3 ada hubungannya dengan terambilnya kartu kelipatan 4. Jadi, kejadian-kejadian itu tidak saling bebas. Dengan demikian, rumus P(A dan B) = P(A) x P(B) tidak berlaku. A kejadian terambilnya kartu kelipatan 3 = (6,9,12,15,18) B kejadian terambilnya kartu kelipatan 4 = (8,12,16) A ∩ B = (12) Jadi, P(A dan B) =

n( A ∩B) n( S)

15

=

1 15

5. Jawab: Terambilnya kartu kelipatan 5 ada hubungannya denagn terambilnya kartu kelipatan 6. Jadi, kejadian-kejadian itu tidak saling bebas. A kejadian terambilnya kartu kelipatan 5 = (10,15,20,25,30) B kejadian terambilnya kartu kelipatan 6 = (12,18,24,30) A ∩ B = (30) Jadi, P(A dan B) =

n( A ∩B) n( S)

1 = 25

16